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什么是数学素养  

2012-04-07 07:01:39|  分类: 数学空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自shengge《什么是数学素养》

什么是数学素养

什么是数学素养?顾沛先生说,很多年的数学学习后,那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记,但是形成的数学素养却终身受用。数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。下面我举出顾先生举出的十个经典例子,希望各位读者能通过这十个“相”,体会到数学素养乃至数学的“质”。

例一:芝诺悖论与无限——从初等数学到高等数学

很多人都听过芝诺悖论中的“阿基里斯永远追不上乌龟”的问题,顾沛在分析这个问题时,指出这一悖论的症结在于混淆了有限与无限的问题。芝诺认为阿基里斯在追赶乌龟的过程中,首先要到达乌龟原先的位置A,而这时乌龟已经到了位置B,阿基里斯继续追赶则要先到达B,这时乌龟又到达了位置C,以此类推,阿基里斯似乎永远也追不上乌龟了,可是芝诺却忽视了一个问题,无限长度或时间的和,可能是有限的。

另一个与无限有关的是“有无限个房间的旅馆”问题,一个有无限个房间的旅馆客满后来了一个客人,应该怎样安排他?答案很简单,让原先住在1号房的客人搬进2号房,原先住在2号房的客人住进3号房,以此类推,让原先住在K号房的客人住进K 1号房,这样就空出了1号房给新来的客人。同理,来了一个团的无穷个旅客,一万个团的无穷个旅客甚至无穷个团的无穷个旅客也应对自如了。 奇妙的数学,从有限到无限,不可能的也成了可能。

例二:海岸线的长度问题——分形与混沌

首先是分形问题。B.B.Mandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量,为什么呢?柯赫曲线的几何现象说明了这个问题。(组图略)

这样的一组图具有自相似性,在测量海岸线时,如果尺子的长度精确度不同,那么海岸线的形状就可以无限分形,当然无法准确测量了。正是这样一个问题,发展成了数学界一个非常重要的分支。混沌问题。这个问题是E.N.Lorenz在做天气预报中发现的。大家都知道的“蝴蝶效应”,也是一种混沌现象,由此可见,数学问题无处不在。

例三:历史上的数学危机——数学的思想大解放

牛顿为了计算瞬时速度,创立了微积分学,可是贝克莱却对牛顿发难:无穷小作为一个量,究竟是否为0?

在算式 s/ t=gt 1/2 g( t)中,贝克莱质疑道:如果无穷小量等于0,则等号左端无意义,若不等于0,则右边的后一项不能随意取掉,因此,反驳贝克莱成了一个棘手的问题。

直到数百年后,柯西的极限理论的出现,“ξ-σ”语言的出现。才消除了这一危机。

由此可见,在数学中,知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的。

例四:周髀算经与勾股定理——中国和世界数学的骄傲

很多人都知道北京2008年举行奥运会,可是却很少有人知道2002年在北京举行的“国际数学家大会”,这是我国许多世界顶尖数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了周髀算经中勾股定理证明的图形。美国宇航局的一次寻找外星人的行动中,也带去了一个证明勾股图形的黄金制品,可见勾股定理的证明是世界的骄傲。至今勾股定理的证明已经多达380种了,而很多人,仍在探寻新的方法。

例五:蒲丰投针问题——什么是创新

1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于平行线距离的一半的针,让他们随意投放。事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,共投针2212枚,与直线相交的704枚,两者相处,正好等于圆周率。求圆周率是一个几何问题,而蒲丰却用概率的方法解决了,完全不相同的两个领域被神奇地联系起来,这就是某种意义上的创新。

例六:变换的方法——化繁为简

来看一道很常见的数学题“小王先快后慢,以不规则的速度用100秒沿直线从A点走到B点,有先慢后快以相反的方式从B返回A,问什么情况下,在A,B间存在C使小王从A到B的时间等于从B到A的时间。为什么?”

当然答案非常简单,只需将第二次的小王换成大王。两者同时出发,问题就变成了解决一个相遇问题了。而题目中大部分条件都是起迷惑作用的。现实的问题纷繁复杂,要学会用这些数学素养简化条件,解决问题。

例七:类比的方法——举一反三

4个平面最多把空间分成多少个部分?答案是15个,但绝对不是由“4*4-1”得出的。方法是这样的,四个平面的情况中最复杂的是这四个平面组成了一个四面体,然后将四面体平展成一个平面,于是主要问题就集中在四面体的棱把这个平面分成几份了。将陌生的复杂的问题用熟悉的简单的问题来类比,同样也是生活中的数学应用。

例八:哥尼斯堡七桥问题——抽象的观点

如何将哥尼斯堡的一条小河上的7座桥一次性走完呢?居民在多次尝试无果后,来请教大数学家欧拉。于是聪明的欧拉将居民的问题抽象为一笔画问题,在他的图纸上,线条的交点被分为奇界点和偶界点,并得出了一笔画问题能成功的充要条件:奇界点≦2个。这就是抽象的观点的精髓:抓住问题本质,突出问题本质。

例九:“变中有不变”的观点——数学的生命力

数学大师陈省身先生,曾指出“三角形内角和为180度”这个命题不好,而认为“n边形的外角和为360度”是个好命题,因为它的变中有不变。

例十:数学中的审美的思想——数学的艺术

数学中有很多种类的美,简洁美、对称美、统一美、奇异美……如黄金分割线,费伯南楔数列等等。

我认为数学素养的养成应重视图示表征,文字和符号及口头表达等多种表征形式来表征同一个关系情境,重视表征之间等价关系的理解.比如一些单位写不对的学生就是不能通过图形,口头表达等形式很好的表达数量关系,就更难用数学模型来表征了.所以需要长期训练这些分析数量关系的习惯,并且把这些动作连贯起来运用.所以会有读圈,画,说,写,算等要求。

引文来源  什么是数学素养

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